Di bab 2 ini mempelajari tentang rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut, seperti penurunan kesamaan fungsi trigonometri dari penjumlahan dan selisih dua sudut, sudut ganda, dan kesamaan dari penjumlahan atau perkalian fungsi trigonometri. Berikut adalah jawaban soal UK BAB 2 MTK Minat kelas XI: (Maaf jika ada kesalahan kata, kalau bisa segera komentar biar saya memperbaiki kesalahan tersebut).
1). Nilai sin 2x cos 3x + cos 2x sin 3x sama dengan nilai...
a. Sin x
b. Sin 5x
c. Sin 7x
d. Sin 3x
e. Sin 6x
Jawab:
Rumus: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
Sin 2x cos 3x + cos 2x sin 3x = sin (2x + 3x) = sin 5x (Jawaban: B)
2). Nilai dari sin 3x adalah...
a. Sin 2x cos x + cos 2x sin x
b. Sin x cos 2x + cos x sin x
c. Sin 2x cos x - cos 2x sin x
d. Sin x cos 2x - cos x sin x
e. 3 sin x
Jawab:
sin 3x = sin (2x + x)
Rumus: sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
sin (2x + x) = sin 2x cos x + cos 2x sin x (Jawaban: A)
3). Diketahui (A+B) = π/3 dan sin A sin B = 1/4. Nilai dari cos (A-B) adalah...
a. -1
b. -1/2
c. 1/2
d. 3/4
e. 1
Jawab:
Kita ketahui bahwa π = 180°, (A+B) = π/3, dan sin A. sin B = 1/4.
Cos (A+B) = cos A. cos B - sin A. sin B
Cos π/3 = cos A. cos B - 1/4
cos 180/3 = cos A. cos B - 1/4
cos 60° = cos A. cos B - 1/4
1/2 = cos A. cos B - 1/4
1/2 + 1/4 = cos A. cos B
3/4 = cos A. cos B
Cos (A-B) = cos A. cos B + sin A. sin B
Cos (A-B) = 3/4 + 1/4
Cos (A-B) = 1 (Jawaban: E)
4). Jika 0° ≤ α ≤ 190° dan 0° ≤ β ≤ 180° memenuhi α + β = 2/3 π dan sin α = 2 sin β. Maka tan (α - β) adalah...
a. 1
b. √2
c. 2 - √3
d. √3
e. 20 + √3
Jawab:
α + β = 2/3 π
α = 2/3 π - β
sin α = 2 sin β
sin (2/3 π - β) = 2 sin β
sin 2/3 π . cos β - cos 2/3 π . sin β = 2 sin β
sin 120° . cos β - cos 120° . sin β = 2 sin β
1/2 √3 . cos β + 1/2 . sin β = 2 sin β
1/2 √3 . cos β = 2 sin β - 1/2 . sin β
1/2 √3 . cos β = 3/2 sin β (cos β pindah ke ruas kanan)
1/2 √3 = 3/2 sin β / cos β
1/2 √3 = 3/2 tan β
tan β = 1/2 √3 : 3/2
tan β = 1/2 √3 x 2/3
tan β = 1/3 √3
β = 30°
α + β = 2/3 π
α = 2/3 π - β
α = 120° - 30°
α = 90°
dit: tan (α-β)
tan (α-β) = tan (90° - 30°)
tan (α-β) = tan 60°
tan (α-β) = √3 (Jawaban: D)
5). Sudut sudut sebuah segitiga ABC adalah α, β, dan γ. Jika sin α = p dengan α lancip maka tan (β + γ) adalah...
a. √1-p²
b. -√1-p² /p
c. p / √1-p²
d. -p / √1-p²
e. - p/1-p
Jawab:
Diketahui sin α = p
cos² α = 1-sin² α
cos α = √(1-sin² α)
cos α = √(1-p²)
tan α = sin α / cos α
tan α = p / √(1-p²)
tan (β + γ) = tan (180 - α)
tan (β + γ) = -tan α
tan (β + γ) = -p / √(1-p²) => (Jawaban: D)
6). Jika tan A = 1/3 maka nilai tan (π/4-A) / tan (π/4+A) adalah...
a. 1
b. 3/4
c. 2/3
d. 1/3
e. 1/4
Jawab:
π/4 = 180/4 = 45° = 1
= tan (π/4-A) / tan (π/4+A)
= 1 - 1/3 / 1 + 1 . 1/3 => bagian atas
= 2/3 / 1 + 1/3
= 2/3 / 4/3
= 1/2
= 1 + 1/3 / 1 - 1. 1/3 => bagian bawah
= 4/3 / 1 - 1/3
= 4/3 / 2/3
= 2
tan (π/4-A) / tan (π/4+A) = 1/2 / 2
tan (π/4-A) / tan (π/4+A) = 1/2 x 1/2
tan (π/4-A) / tan (π/4+A) = 1/4 (Jawaban: E)
7). Jika 4 cos (π/6 + x) = 3 cos (π/6 - x) maka tan x adalah...
a. 1/7 √3
b. 1/6 √3
c. 1/4 √3
d. 1/3 √3
e. 1/2 √3
Jawab:
seperti yang diketahui π adalah nilai yang setara dengan 180°
4 cos (π/6 + x) = 3 cos (π/6 - x)
4 {cos π/6 . cos x - sin π/6 . sin x} = 3 {cos π/6 . cos x + sin π/6 . sin x}
4 {cos 30 . cos x - sin 30 . sin x} = 3 {cos 30 . cos x + sin 30 . sin x}
4 {1/2√3 . cos x - 1/2 . sin x} = 3 {1/2√3 . cos x + 1/2 . sin x}
4 {1/2√3 . cos x - 1/2 . sin x} - 3 {1/2√3 . cos x + 1/2 . sin x} = 0
4 {√3 cos x / 2 - sin x / 2} - 3 {√3 cos x / 2 + sin x / 2} = 0
4 {√3 cos x / 2 - sin x / 2} - 3 {√3 cos x / 2 + sin x / 2} = √3 cos x - 7 sin x / 2
√3 cos x - 7 sin x / 2 = 0 (Jika f (x) / g (x) = 0 maka f(x) = 0)
√3 cos x - 7 sin x = 0 (bagi dengan cos x)
√3 cos x - 7 sin x / cos x = 0 / cos x
√3 - 7 sin x / cos x = 0 (tan = sin / cos)
√3 - 7 tan x = 0
7 tan x = √3
tan x = √3 / 7
tan x = 1/7 √3 (Jawaban: A)
8). Jika A, B, dan C adalah sudut-sudut dalam sebuah segitiga maka sin 2A + sin 2B + sin 2C adalah...
a. 2 sin A sin B sin C
b. 2 cos A sin B cos C
c. 4 sin A sin B sin C
d. 2 sin A cos B cos C
e. 2 sin A cos B sin C
Jawab:
A + B + C = 180°
A + = 180° - (B+C)
2A = 360° - (2B+2C)
sin 2A = sin {360° - (2B+2C)}
sin 2A = sin 360° . cos (2B+2C) - cos 360° . sin (2B+2C)
sin 2A = 0 . cos (2B+2C) - 1 . sin (2B+ 2C)
sin 2A = -sin (2B+2C)
sin 2A = -{sin 2B . cos 2C + cos 2B . sin 2C}
sin 2A = -sin 2B . cos 2C - cos 2B . sin 2C
substitusikan ke soal yg ditanya:
sin 2A + sin 2B + sin 2C
= -sin 2B . cos 2C - cos 2B . sin 2C + sin 2B + sin 2C
= -sin 2B . cos 2C + sin 2B - cos 2B . sin 2C + sin 2C
= sin 2B (1 - cos 2C) + sin 2C (1 - cos 2B)
= 2 sin B cos B (2 sin² C) + 2 sin C cos C (2 sin² B)
= 4 sin B cos B (sin² C) + 4 sin C cos C (sin² B)
= 4 sin B sin C (cos B.sin C + cos C.sin B)
= 4 sin B sin C (sin B.cos C + cos B.sin C)
= 4 sin B sin C sin (B+C)
= 4 sin A sin B sin C (Jawaban : C)
9). 2 cos 15° (sin 15° + cos 15°) - 1 = ....
a. 1/2
b. 1/2 √3
c. 1/2 (√6 + 1)
d. 1/2 (√6 - 1)
e. 1/2 (√2 + 1)
Jawab:
2 cos 15° (sin 15° + cos 15°) - 1
= {2 cos 15°. sin 15° + 2 cos 15°. cos 15°} - 1
= {(sin (15°+15°) - sin (15°-15°)) + (cos (15°+15°) + cos (15°-15°)} - 1
= {sin 30° - sin 0 + cos 30° + cos 0} -1
= {1/2 - 0 + 1/2 √3 + 1} -1
= 1/2 + 1/2 √3
= 1/2 (1 + √3) =? tidak ada jawabannya
10). Jika diketahui x + y = 270° maka...
a. cos x + sin y = 0
b. cos x - sin y = 0
c. cos x + cos y = 0
d. sin x - sin y = 0
e. sin x + sin y = -1
Jawab:
x + y = 270°
x = 270° - y
Cos x = cos (270° - y)
cos x = - sin y (karena 270° berada di kuadran 4 maka sin negatif)
cos x + sin y = - sin y + sin y = 0 (Jawaban: A)
11). Jika x = 3 tan α maka sin α cos α adalah...
a. 5
b. 8
c. 10
d. 3x / x² + 9
e. -3x / x² + 9
Jawab:
misalkan: depan = A, samping = B, miring = C
3 tan α = x
tan α = x/3 => depan/samping => depan =x, samping =3 => A = x, B = 3
A/B = x/3
C² = A² + B² = x² + 3² = x² + 9
sin α cos α = A/C x B/C
sin α cos α = AB / C²
sin α cos α = x . 3 / x² + 9
sin α cos α = 3x / x² + 9 (Jawaban: D)
12). Jika α adalah sudut lancip yang memenuhi 2 cos² α = 1 + 2 sin α maka tan α adalah...
a. 2 + √5
b. √5 - 1
c. 2 + √3
d. √3 - 1
e. 2 - √3
Jawab:
"BELUM"
13). Diketahui nilai sin α cos β = 1/5 dan sin (α - β) = 3/5 untuk 0° ≤ α ≤ 180° dan 0° ≤ β ≤ 90°. Nilai sin (α + β) = ...
a. -3/5
b. -2/5
c. -1/5
d. 1/5
e. 3/5
Jawab:
sin (α - β) = sin α . cos β - cos α . sin β
3/5 = 1/5 - cos α . sin β
1/5 - cos α . sin β = 3/5
- cos α . sin β = 3/5 - 1/5
- cos α . sin β = 2/5
cos α . sin β = -2/5
sin (α + β) = sin α . cos β - cos α . sin β
sin (α + β) = 1/5 - (-2/5)
sin (α + β) = 1/5 + 2/5
sin (α + β) = 3/5 (Jawaban: E)
14). Diketahui cos B = 12/13 dan sudut B lancip. Nilai sin 2B adalah...
a. 5/13
b. 12/26
c. 24/26
d. 160/169
e. 120/169
Jawab:
Diketahui cos B = 12/13
berarti sisi lain = √13² - 12² = √169-144 = √25 = 5
sin B = 5/13 => (depan/miring)
sin 2B = 2 sin B . cos B = 2. (5/13). (12/13) = 120/169 (Jawaban: E)
15). Jika α, β, dan γ adalah sudut-sudut sebuah segitiga maka sin 1/2 (β + γ) adalah...
a. sin (1/2 α)
b. sin (1/2 β)
c. cos (1/2 β)
d. -cos (1/2 β)
e. cos (1/2 α)
Jawab:
α + β + γ = 180°
β + γ = 180° - α
maka:
sin 1/2 (β + γ) = sin 1/2 (180° - α)
sin 1/2 (β + γ) = 1/2 (sin 180° . cos α - cos 180° . sin α)
sin 1/2 (β + γ) = 1/2 (0 . cos α - (-1) . sin α)
sin 1/2 (β + γ) = 1/2 (sin α)
sin 1/2 (β + γ) = sin (1/2 α) => Jawaban: A
16). (1-sin² A) tan² A = ...
a. 2 sin² A - 1
b. 1 - sin² A
c. sin² A + cos² A
d. sin² A + cos² A
e. 1 - cos² A
Jawab:
(1-sin² A) tan² A
= (cos² A) tan² A
= cos² A . sin²A/cos²A (coret cos²A)
= sin² A
sin² A = 1 - cos² A (Jawaban: E)
17). Jika tan² x / 1 + sec x = 1 untuk 0° ≤ x ≤ 90° maka nilai x adalah...
a. 0°
b. 30°
c. 45°
d. 60°
e. 90°
Jawab:
tan² x / 1 + sec x = 1
tan² x / 1 + 1/cos x = 1
kita coba-coba:
*tan²(0°) / 1 + 1/ cos 0 = 1
0 / 1 + 1 = 1
0 / 2 = 1 (tidak memenuhi)
*tan²(30°) / 1 + 1 / cos 30 = 1
(1/3√3)² / 1 + 1 / 1/2√3 = 1
1/3 / 1 + 1/1/2√3 = 1 (tidak memenuhi)
*tan² (45°) / 1 + 1/cos 45 = 1
(1)² / 1 + 1/1/2√2 = 1
1 / 1 + 1/1/2√2 = 1 (tidak memenuhi)
*tan² (60°) / 1 + 1/cos 60 = 1
(√3)² / 1 + 1/ 1/2 = 1
3 / 1 + 2 = 1
3/3 =1 (memenuhi) => Jawaban: D
18). Jika 1 - sin² x = 1, untuk 0° ≤ x ≤ 180° maka nilai x yang memenuhi adalah...
a. {0°, 30°}
b. {30°, 60°}
c. {0°, 180°}
d. {30°, 45°}
e. {45°, 60°}
Jawab:
1 - sin² x = 1
cos²x = 1
kita coba-coba:
cos²(0°) = (1)² = 1 => (memenuhi)
cos²(30°) = (1/2√3)² = 3/4 => (tidak memenuhi)
cos²(45°) = (1/2√2)² = 1/2 => (tidak memenuhi)
cos² (60°) = (1/2)² = 1/4 => (tidak memenuhi)
cos²(180°) = (-1)² = 1 => (memenuhi)
berarti jawabannya {0°, 180°} => Jawaban :C
19). Jika 3 cos² 2x + 4 cos² x - 4 = 0 maka nilai cos x adalah...
a. 2/3
b. 1/6 √30
c. -2/3
d. 2/3 √3
e. √5/6
Jawab:
3 cos² 2x + 4 cos² x - 4 = 0
(3 cos 2x - 2)(cos 2x + 2) = 0
*cos 2x = 2/3 (memenuhi) atau
*cos 2x = -2 (tidak memenuhi)
cos 2x = 2/3
2 cos² x - 1 = 2/3
2 cos² x = 2/3 + 1
2 cos² x = 5/3
cos² x = 5/6
cos x = √5/6 (Jawaban: E)
20). Diketahui nilai cos (α - β) = 2/3 dan cos α cos β = 1/2. Jika α + β lancip maka nilai tan (α + β) adalah...
a. 1/4 √2
b. 1/2
c. 2/3 √2
d. 2
e. 2 √2
Jawab:
"BELUM"
21). Jika α + β = 270° maka nilai cos α + sin β adalah...
a. 2 sin β
b. 2 cos β
c. sin 2β
d. 0
e. cos β + sin β
Jawab:
α + β = 270°
β = 270° - α
cos α + sin β
= cos α + sin (270° - α) => menggunakan rumus sin (a-b) = sin a cos b - cos a sin b
= cos α + (sin 270° . cos α - cos 270° . sin α)
= cos α + ((-1) . cos α - 0 . sin α)
= cos α + (-cos α) - 0
= cos α - cos α
= 0 (Jawaban: D)
22). Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° adalah...
a. 1/2
b. 1/2 √2
c. 1/2 √3
d. 1/2 √6
e. √3
Jawab:
Memakai rumus: sin a . cos b + cos a . sin b = sin (a + b)
sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = sin (45° + 15°)
sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = sin 60°
sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° = 1/2 √3 (Jawaban: C)
23). Bentuk cos 6x - cos 2x dapat diubah menjadi bentuk...
a. -6 sin² 2x cos 2x
b. -4 sin² 2x cos 2x
c. -2 sin² 2x cos 2x
d. -2 cos² 2x sin 2x
e. -4 cos² 2x sin 2x
Jawab:
cos 6x - cos 2x = -2 sin ½ (6x+2x) sin ½ (6x-2x)
cos 6x - cos 2x = -2 sin ½ (8x) sin ½ (4x)
cos 6x - cos 2x = -2 sin 4x . sin 2x
cos 6x - cos 2x = -2 sin 2(2x) . sin 2x
cos 6x - cos 2x = -2 (2 sin 2x . cos 2x) sin 2x => memakai rumus sin 2a = 2 sin a cos a
cos 6x - cos 2x = -4 sin² 2x . cos 2x (Jawaban: B)
24). Jika 0 ≤ x ≤ 2π dan 0 ≤ y ≤ 2π memenuhi persamaan sin (x + y) = sin y cos x maka cos y sin x adalah...
a. -1
b. -1/2
c. 0
d. 1/2
e. 1
Jawab:
sin (x+y) = sin y cos x
sin x . cos y + cos x . sin y = sin y cos x (=> sin x . cos y bisa dibalik jadi cos y. sin x)
cos y . sin x = sin y. cos x - cos x . sin y (dipindah ke ruas kanan)
cos y. sin x = 0 (Jawaban: C)
25). cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = ....
a. sin 35°
b. sin 55°
c. cos 35°
d. cos 15°
e. sin 15°
Jawab:
Rumus: Cos (α + β) = cos α . cos β - sin α . sin β
cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = Cos (α + β)
cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = cos (35 + 20)
cos 35° cos 20° - sin 35° sin 20° = cos 55°
cos 55° = berada di kuadran 1 jadi positif
cos 55° = cos (90° - 35°) = + sin 35° (Jawaban: A)